Matematica in gioco

La creatività , ovvero l’attitudine mentale a produrre nuove idee, almeno nel senso in cui si usa correntemente, è una nozione recente; in particolare, il corrispondente termine
è entrato nel lessico italiano solo nel 1949. In quell’anno, per la prima volta, un vocabolario della lingua italiana ammette la parola creatività come voce italiana.
Anche se la storia dell’Umanità è popolata da un gran numero di personaggi dotati di estro e di inventiva eccezionali, il concetto di creatività, come facoltà umana, è nato all’inizio del Novecento; in precedenza, la capacità di creare era percepita come un attributo esclusivo della divinità .
Tra le moltissime defnizioni di creatività che sono state coniate nel tempo, risulta estremamente sintetica e precisa quella fornita dallo scienziato francese Henri Poincaré : “Creatività è unire elementi esistenti con connessioni nuove, che siano utili ”.
L’ultima parola, utili , specifica una condizione determinante nella valutazione di un’azione effettivamente creativa. Al tempo stesso, però, lascia aperto un largo margine di discrezionalità, in quanto l’idea di utilità è alquanto soggettiva. Quindi, non è corretto parlare di creatività in assoluto, ma solo relativamente a determinati ambiti dello scibile umano. In ogni caso, non bisogna confondere la creatività con l’intelligenza; queste due doti, infatti, possono anche trovarsi in antitesi.
A tale riguardo, lo psichiatra italiano Silvano Arieti ha affermato: “Un’intelligenza troppo sviluppata può inibire le risorse interiori dell’individuo, poiché la sua autocritica diventa troppo rigida [...]. Una grande capacità di dedurre , secondo le leggi della Logica e della Matematica, genera sicuramente dei pensatori disciplinati, ma non necessariamente delle persone creative”.

La creatività si puà apprendere?

La maggior parte della gente crede che la creatività, come l’intelligenza, sia una dote naturale che, se non viene posseduta dalla nascita, non potrà mai essere acquista. Verso la fine degli anni ‘60, però, lo psicologo maltese Edward de Bono ha dimostrato che tale capacità mentale può essere appresa, esercitata e ampliata, con un allenamento adeguato e costante. A tale riguardo, ha dichiarato: “La creatività è un’abilità che tutti possono apprendere, esercitare e utilizzare. È un’abilità come sciare, giocare a tennis, cucinare o fare calcoli [...]. E tutti possono cercare di migliorare con l’esercizio. L’uso della creatività e il suo esercizio sono il modo migliore per sviluppare l’abilità e l’abitudine mentale del pensiero creativo”.
Uno dei più noti metodi per stimolare la creatività, ideati da de Bono, consiste nell’ estrarre casualmente una parola e cercare di trovare un nesso logico tra questa e una determinata questione assegnata in precedenza . Un sistema del genere può essere utilizzato per fni puramente ludici; però, adottato in ambito manageriale, può contribuire addirittura a delineare nuove strategie di mercato. È bene precisare che, però, questo stimolante genere di esercizio allena “solo” al compimento di un’idea creativa, dato che i due elementi da collegare sono già assegnati. Per riuscire a effettuare un atto creativo, in maniera autonoma e completa, bisogna essere in grado anche di individuare la situazione di partenza e l’obiettivo da raggiungere. Paradossalmente questo secondo tipo di operazione è molto più importante dell’altro. Tanto per fare un esempio, se nessuno si fosse messo in testa di far volare un essere umano, non sarebbe mai stato realizzato alcun tipo di velivolo (mongolfiera, dirigibile, elicottero, aereo e così via), nonostante tutta la potenziale tecnologia messa a disposizione dal progresso scientifico.

La matematica ricreativa

Senza rendermene conto, quando ero bambino, ho cominciato ad adottare analoghi meccanismi mentali, a fini prettamente giocosi. Siccome a quei tempi (i mitici anni ‘50) si trovavano pochi giochi in commercio (e, comunque, i miei genitori non avevano molti soldi per comprarmeli...), cercavo di ampliare la gamma di potenzialità ludiche a mia disposizione, inventando nuove regole per giocare con lo stesso materiale di base (tabellone e segnalini del Monopol i, pedine della dama, pezzi degli scacchi e così via...). Inconsapevolmente, in quel modo, ho iniziato a sviluppare una discreta creatività che, in seguito, mi è stata sempre riconosciuta (l’intelligenza, no...) e che mi ha consentito di intraprendere la professione di giocologo .
Il requisito di utilità delle mie elucubrazioni ho cominciato a curarlo quando ho deciso di occuparmi di divulgazione matematica, prima nella veste di insegnante e poi in quella di saggista.
Ho sempre pensato che, per poter svolgere in maniera proficua il proprio compito sociale, sia fondamentale che la scuola (sia pubblica che privata) appaia come un luogo accattivante, nel quale i ragazzi siano spontaneamente invogliati a recarsi. Prima di occuparsi di che cosa insegnare, a mio avviso, è necessario preoccuparsi che gli studenti siano presenti in classe e non siano, invece, tentati di vagabondare altrove. L’operazione che mi è venuta più spontanea da compiere, in questo ambito, è stata quella di mettere in luce gli aspetti magici della Matematica , attraverso l’ideazione di alcuni giochi di prestigio, non necessariamente collegati al programma scolastico. Ritengo, infatti, che sia molto più importante riuscire a creare in classe un clima giocoso e stimolante, piuttosto che portare avanti in maniera pedissequa gli schemi ministeriali.

Lo gnomone prodigioso

A titolo di esempio, riporto qui sotto un gioco basato sulla peculiare struttura della la Tavola pitagorica , dove ogni riga o colonna di posizione N viene chiamata tabellina di N . Come è noto, in questa particolare matrice numerica, il valore posto nella casella di coordinate (M; N), è uguale a M×N.



Il primo approccio scolastico alla Matematica consiste tradizionalmente nell’ imparare a memoria tutte le tabelline, dall’1 al 9 . Uno sforzo mnemonico di questo genere è estremamente utile, in quanto consente di acquisire, in maniera permanente, la capacità di eseguire i calcoli a mano (o, addirittura, solo a mente). Però, essendo alquanto impegnativo per dei bambini di 5/6 anni, spesso diventa la causa scatenante del primo atteggiamento di rifiuto nei confronti dello studio di questa materia.
Partendo dall’osservazione che diverse informazioni contenute nella Tavola pitagorica sono ripetute due volte (e che alcune sono superflue), nelle scuole dei Paesi orientali (in particolare Cina, Corea e Singapore), i bambini devono imparare a memoria solo i prodotti di N×M, con 1 < N ≤ M e imparare che N × M = M × N. In questo modo, il carico mnemonico scende da 81 a 36 dati . Non a caso, nelle competizioni internazionali, gli studenti di queste nazioni si classificano sempre ai primissimi posti...

Curiosità aritmetiche

Le modalità di costruzione di una Tavola pitagorica generano diverse interessanti curiosità aritmetiche, come la seguente. Se si sceglie un numero N 2 , posto sulla diagonale principale di una Tavola pitagorica , e si evidenziano tutti i numeri presenti in colonna sopra di esso, e in riga alla sua sinistra, si ottiene una configurazione detta gnomone di ordine N .

Ebbene, si può dimostrare che la somma di tutti i numeri contenuti all’interno di una configurazione del genere è sempre uguale a N 3 . Una tale inaspettata regolarità, si presta alla confezione di un sorprendente gioco di magia matematica, che può essere effettuato con le seguenti modalità.

• Porgete una Tavola pitagorica a un vostro amico e invitatelo a rimarcare uno gnomone, a sua scelta, su di essa, senza farvelo vedere (supponiamo che abbia scelto lo gnomone precedente, di ordine 7).
• Chiedetegli di cancellare uno dei numeri così evidenziati e di sommare tutti gli altri (supponiamo che abbia cancellato uno dei due numeri 35 e che, quindi, la somma dei restanti numeri è uguale a:7 + 14 + 21 + 28 + 42 + 49 + 42 + 35 + 28 + 21 + 14 + 7 = 308).
• Fatevi comunicare il risultato ottenuto (308) e, nel giro di pochi secondi, sarete in grado di individuare, sia l’ordine dello gnomone, sia il numero che ha cancellato.

Per riuscire in una simile impresa, supponendo di utilizzare una Tavola pitagorica normale, di dimensioni 9 × 9 (trascurando lo gnomone banale, costituito dal solo numero 1), per prima cosa dovete memorizzare i cubi di tutti i numeri interi da 2 a 9 , riportati per comodità nel seguente prospetto.

Quando il vostro amico vi comunica la somma S che ha ricavato, dovete velocemente individuare a mente il più piccolo cubo perfetto C, maggiore di S (nel nostro caso, questo valore è dato da 343 = 7 3 , maggiore di 308). La base di C (nel nostro caso, 7) fornisce subito l’ordine dello gnomone.
Per individuare il numero che è stato cancellato, dovete riuscire a eseguire mentalmente la differenza C – R (nel nostro caso: 343 – 308 = 35).
Ovviamente, una perfomance del genere risulta tanto più sorprendente quanto più rapidamente riuscite a effettuare le operazioni a mente. D’altra parte, quanto più eseguirete questa performance, tanto più rapidamente sarete in grado di effettuare le operazioni a mente.